Question

11．教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题．某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从A，B，C，D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示．为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

	满意	一般	不满意
A区域	50%	25%	25%
B区域	80%	0	20%
C区域	50%	50%	0
D区域	40%	20%	40%

（Ⅰ）若家长甲来自A区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；
（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D区域的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过频率分布直方图，来自A区域的家长为40人，通过分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取的数目，然后求解概率．
（II）设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”从填写不满意的学生中选出2人的基本事件个数，而事件N的个数，然后求解概率．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A，B，C，D四个区域的家长共有200人，…（1分）
其中来自A区域的家长为40人，…（2分）
由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了 $20×\frac{40}{200}=4$份．…（4分）
设事件M=“家长甲被选中进行问卷调查”，…（5分）
则$P（M）=\frac{4}{40}=0.1$．…（6分）
（II） 由图表可知，来自A，B，C，D四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5．
其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个．…（7分）
记来自A区域不满意的家长是a；来自B区域不满意的家长是b；
来自D区域不满意的家长是c，d．…（8分）
设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”…（9分）
从填写不满意的学生中选出2人，共有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）6个基本事件，…（10分）
而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）5个基本事件，…（11分）
故$P（N）=\frac{5}{6}$．…（13分）

点评 本题考查分层抽样，频率分布直方图以及古典概型的概率的求法，基本知识的考查．