Question

9．已知抛物线F的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1）．
（1）求抛物线F的方程；
（2）若点P为抛物线F的准线上的任意一点，过点P作抛物线F的切线PA与PB，切点分别为A，B．求证：直线AB恒过某一定点；
（3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）

Answer 1

分析 （1）设出抛物线的方程，根据焦点的坐标，求出抛物线的方程健康；
（2）设出切点坐标，得到方程组，分别用斜率表示切点的横坐标，设出定点的坐标并求出定点的坐标，从而得证，
（3）根据（2）的条件和结论写出即可．

解答 解：（1）由题意设抛物线的方程为：x²=2py，（p＞0），
由焦点为F（0，1）可知$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴所求抛物线方程为：x²=4y；
（2）设切点A、B坐标为（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），设P（m，-1），
易知直线PA、PB斜率必存在，
可设过点P的切线方程为：y+1=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-m）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y并整理得：x²-4kx+4（km+1）=0，…①，
∵切线与抛物线有且只有一个交点，
∴△=（4k）²-16（km+1）=0，整理得：k²-mk-1=0，…②，
∴直线PA、PB的斜率k₁，k₂为方程②的两个根，故k₁•k₂=-1，
由△=0可得方程①的解为x=2k，
∴x₁=2k₁，x₂=2k₂，
假设存在一定点，使得直线AB恒过该定点，
则由抛物线对称性可知该定点必在y轴上，
设该定点为C（0，c），
则$\overrightarrow{CA}$=（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-c），$\overrightarrow{CB}$=（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-c），
∴$\overrightarrow{CA}$∥$\overrightarrow{CB}$，
∴x₁（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-c）-（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-c）x₂=0，
∴c（x₁-x₂）=$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{4}$（x₂-x₁），
∴x₁≠x₂，
∴c=-$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{4}$=-$\frac{{{4k}_{1}k}_{2}}{4}$=1，
∴直线AB过定点（0，1），
（3）若点P为直线l：y=t（t＜0）上的任意一点，过点P作抛物线F：x²=2py（p＞0）的切线PA、PB的切点分别是A、B，
则直线AB恒过定点（0，-t）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．