Question

1．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*都有S${\;}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}$=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$，求数列{a_n+b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}$=n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}=\frac{1}{2}$，①
当n=1时，${a}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$，解得${a}_{1}=\frac{1}{3}$，
当n≥2时，${S}_{n-1}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}=\frac{1}{2}$，②
①-②得${a}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}=0$，化为${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{3}$，首项为$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$，
（2 ）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}$=n，
∴a_n+b_n=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．