Question

13．已知函数f（x）=lnx-ax+1，a是常数，a∈R．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：函数f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，求出切点坐标以及切线的斜率，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），以及导函数，通过（1）当a=0时，（2）当a≠0时，①当a＜0时，②当a＞0时，分别判断导函数的符号，推出单调区间．
（Ⅲ）构造F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，求出导函数，通过判断函数的单调性求出最大值小于0即可．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax+1，可得$f'（x）=\frac{1}{x}-a$…（2分），
f（1）=-a+1，k_l=f'（1）=1-a，
所以切线l的方程为y-f（1）=k_l（x-1），即y=（1-a）x．     …（4分）
（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$
（1）当a=0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，f（x）在（0，+∞）为增函数
（2）当a≠0时，
令$\frac{1-ax}{x}=0$得，x=0或$x=\frac{1}{a}$
①当a＜0时，f（x）在（0，+∞）为增函数
②当a＞0时，f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上是增数，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$是减函数   …（9分）
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，则$F'（x）=\frac{1}{x}-1\;=\frac{1}{x}（1-x）\;，解F'（x）=0得x=1$．

x	（0，1）		（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方． …（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．