Question

4．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是6．

Answer 1

分析 先利用f（2x）=2f（x），求出f（34）的值，再根据f（x）=1-|x-3|，求出f（x）=f（34）时x的最小值．

解答 解：根据题意，得；
∵f（2x）=2f（x），
∴f（34）=2f（17）
=4f（$\frac{17}{2}$）=8f（$\frac{17}{4}$）
=16f（$\frac{17}{8}$）；
又∵当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|，
∴f（$\frac{17}{8}$）=1-|$\frac{17}{8}$-3|=$\frac{1}{8}$，
∴f（2x）=16×$\frac{1}{8}$=2；
当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|≤1，不存在；
当4≤x≤8时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[1-|$\frac{x}{2}$-3|]=2，
解得x=6；
故答案为：6．

点评 本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．