Question

19．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数图图象得出f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），再利用积分求解即可．

解答 解：由图可知，A=1，$sinφ=-\frac{1}{2}$，
由$|φ|＜\frac{π}{2}$得$φ=-\frac{π}{6}$，又$sin（\frac{π}{6}ω-\frac{π}{6}）=0$，

五点作图得出sin（$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，
$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，
ω=6k+1，
由图知$\frac{π}{6}＜\frac{1}{4}×\frac{2π}{ω}$，ω＜3，
ω＞0，
得ω=1所以f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），
阴影部分面积S=|∫${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$f（x）|dx═|∫${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$sin（x-$\frac{π}{6}$）|dx=cos（x-$\frac{π}{6}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解，属于中档题．