Question

12．已知四面体ABCD中，每个面都有两条边长为3，有一边为2，则四面体ABCD外接球的表面积为11π．

Answer 1

分析 考虑一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其四个顶点就构成一个四面体AB₁CD₁ 恰好就是每个三角形边长为3，3，2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，可得外接球的表面积．

解答 解：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的长宽高分别是a，b，c，其四个顶点就构成一个四面体AB₁CD₁ 满足每个面的边长为3，3，2，
则a²+b²=9，b²+c²=9，c²+a²=4，
所以a²+b²+c²=11，
即长方体的外接球直径2R=$\sqrt{11}$，
故外接球的表面积S=4πR²=11π，
故答案为：11π．

点评 在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．