Question

2．已知函数y=f（x）（x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）），在其图象上任取一点P（x，y）都满足方程x²-4y²=4．
①函数y=f（x）一定具有奇偶性；
②函数y=f（x）在（-∞，-2）是单调函数；
③?x₀∈（-∞，-2）∪（2，+∞），使x＜2f（x）；
④?x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），使|x|＞2f（x）；
以上说法正确的序号是③④．

Answer 1

分析 根据条件作出满足条件的函数图象，同时作出渐近线方程y=±$\frac{1}{2}$x，通过图象观察可得函数的奇偶性和单调性即可判断①，②；再由双曲线的性质和图象，即可判断③，④．

解答 解：满足方程x²-4y²=4的函数图象为双曲线的一部分，
如图，函数y=f（x）对应的图象为2，4象限部分的图象，
或1，3象限的图象，可能不关于原点对称或y轴对称，
则①不正确；
对于②，由图象可得函数y=f（x）在（-∞，-2）
可能是减函数或增函数，不单调，则②不正确；
对于③，由图可知③正确；
对于④，由于图象上任一点P（x，y）满足方程x²-4y²=4，
则?x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），由图象可得|x|＞2f（x），则④正确．
故答案为：③④．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，图象和渐近线的关系，利用双曲线的图象是解决本题的关键．