Question

3．已知抛物线y=x²，点A、B的坐标分别为（2，-1）、（3，1），在抛物线上求一点P使△ABP的面积最小并求出最小面积．

Answer 1

分析 求出直线AB的斜率，然后求出函数的导数利用导数值与K_AB相等，求出切点坐标，然后求出三角形的高，即可求解三角形的面积的最小值．

解答 S_△ABC解：由题意可知K_AB=$\frac{1+1}{3-2}$=2，抛物线y=x²，点A、B的坐标分别为（2，-1）、（3，1），在抛物线上求一点P使△ABP的面积最小，这点就是与AB平行与抛物线相切时的切点坐标，
设切点为（a，a²），则y=x²，可得y′=2x，y′|_x=a=2a，2a=2，解得a=1，
切点坐标（1，1），直线AB：y-1=2（x-3），可得2x-y-5=0．切点到直线的距离为：d=$\frac{|2-1-5|}{\sqrt{{2}^{2}+（{-1）}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
|AB|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}\left|AB\right|d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{4}{\sqrt{5}}$=2．
所求面积的最小值为：2，此时P（1，1）．

点评 本题考查函数的导数以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力．