Question

6．△ABC中，$\sqrt{5}$sin²A-（2$\sqrt{5}$+1）sinA+2=0，A是锐角．
（1）求tan2A的值；
（2）若cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，c=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）解所给的一元二次方程求得sinA的值，可得cosA、tanA的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2A的值．
（2）由条件求得sinA的值，再利用正弦定理求得b的值，根据△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA，计算求得结果．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\sqrt{5}$sin²A-（2$\sqrt{5}$+1）sinA+2=0，A是锐角，求得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，或 sinA=2（舍去）．
∴cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{2}$，tan2A=$\frac{2tanA}{1{-tan}^{2}A}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{b}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$，求得b=2$\sqrt{5}$，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×10×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=10．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式、诱导公式、正弦定理的应用，属于中档题．