Question

17．已知变量x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则u=$\frac{3x+y}{x+1}$的取值范围是[$\frac{5}{2}，\frac{14}{5}$]．

Answer 1

分析 令x+1=m，3x+y=n，代入约束条件后转化关于m，n的不等式组，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，由$\frac{n}{m}$的几何意义得答案．

解答 解：令x+1=m，3x+y=n，得x=m-1，y=n-3m+3，代入$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{4m-n-6≤0}\\{5m-2n≤0}\\{3m-n-1≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{3m-n-1=0}\\{4m-n-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=14}\end{array}\right.$，即C（5，14），
u=$\frac{3x+y}{x+1}$=$\frac{n}{m}$的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，
∵${k}_{OA}={k}_{AB}=\frac{5}{2}$，${k}_{OC}=\frac{14}{5}$，
∴u=$\frac{3x+y}{x+1}$的取值范围是[$\frac{5}{2}，\frac{14}{5}$]．
故答案为：[$\frac{5}{2}，\frac{14}{5}$]．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．