Question

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1-log₂（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x-2）f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （0，1）∪（2，3）
• B． （0，1）∪（3，4）
• C． （1，2）∪（3，4）
• D． （1，2）∪（2，3）

Answer 1

分析 由题意可得函数的性质，可得图象，数形结合可解不等式．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=-f（2-x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1-log₂（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x-2＜0，f（x）＜0，
∴（x-2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x-2＞0，f（x）＞0，
∴（x-2）f（x）＞0；
∴不等式（x-2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D

点评 本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．