Question

10．已知f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
①a=-1时，求f（x）的最值；
②求a的范围使f（x）在[-5，5]上是单调函数；
③若a∈R，求f（x）最大值f（a）．

Answer 1

分析 ①配方得出f（x）=（x-1）²+1，利用定义域求解即可．
②根据二次函数的性质得出；-a≤-5或-a≥5，求解即可．
③利用对称轴x=-a，与端点值的大小比较得出：
当-a≤0时，即a≥0，最大值g（a）=f（5）=27+10a．
-当-a＞0时，即a＜0，最大值g（a）=f（-5）=27+10a．

解答 解：f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
①a=-1时，f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）=（x-1）²+1，∵x∈[-5，5]，
∴f（x）的最小值为1，
②f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
对称轴x=-a，
∵f（x）在[-5，5]上是单调函数；
∴-a≤-5或-a≥5，
即a≥5或a≤-5．
故a的范围为：a≥5或a≤-5．
③a∈R，f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
对称轴x=-a，
当-a≤0时，即a≥0，最大值g（a）=f（5）=27+10a．
-当-a＞0时，即a＜0，最大值g（a）=f（-5）=27+10a．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{10a+27，a≥0}\\{27-10a，a＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的性质，对称性，单调性，求解不等式，难度较小，属于简单的题目，但是考查了二次函数的性质较全面．