Question

19．已知a＞0，b＞0，且（a-b）²+（2a+3b）²=5c²．当$\frac{{c}^{2}}{ab}$取最小值时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的值为$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知结合基本不等式求出$\frac{{c}^{2}}{ab}$取最小值的条件，然后代入$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$求得值．

解答 解：由（a-b）²+（2a+3b）²=5c²，得
a²-2ab+b²+4a²+12ab+9b²=5c²，
整理得：a²+2b²+2ab=c²，
∴${c}^{2}=2ab+{a}^{2}+2{b}^{2}≥2ab+2\sqrt{2}ab$，
则$\frac{{c}^{2}}{ab}≥2（\sqrt{2}+1）$，当且仅当$a=\sqrt{2}b$时等号成立，
此时${c}^{2}=2\sqrt{2}{b}^{2}+4{b}^{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}{b}^{2}+4{b}^{2}}{2{b}^{2}+{b}^{2}}=\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了函数的性质及其应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．