Question

8．已知函数f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2-x-$\frac{2}{x}$的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；
（2）等价方程$\frac{alnx+2a}{x}=a+2-x-\frac{2}{x}$在（0，2]只有一个根，即x²-（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由$h'（x）=\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，对a分类讨论、结合图象即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{alnx+b}{x}$，
∴f（1）=b，${f}^{′}（x）=\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}{|}_{x=1}$=a-b，
∴y-b=（a-b）（x-1），
∵切线过点（3，0），
∴b=2a，
∴$f'（x）=\frac{a-b-alnx}{x^2}=-\frac{a（lnx+1）}{x^2}$，
①当a∈（0，2]时，$x∈（0，\frac{1}{e}）$单调递增，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$单调递减，
②当a∈（-∞，0）时，$x∈（0，\frac{1}{e}）$单调递减，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$单调递增．
（2）等价方程$\frac{alnx+2a}{x}=a+2-x-\frac{2}{x}$在（0，2]只有一个根，
即x²-（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，
令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，
∴$h'（x）=\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$
①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，
当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，
∴h（1）=0或h（2）＜0，
∴a=-1或$a＜-\frac{2}{ln2}$．
②当a∈（0，2）时，h（x）在$x∈（0，\frac{a}{2}）$递增，$x∈（\frac{a}{2}，1）$的递减，x∈（1，2]递增，
∵$h（\frac{a}{2}）＞h（1）=a+1＞0$，当x→0时，h（x）→-∞，
∵h（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，
∴h（x）在$x∈（0，\frac{a}{2}）$与x轴只有唯一的交点，
③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，
∵h（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，
∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，
故a的取值范围是a=-1或$a＜-\frac{2}{ln2}$或0＜a≤2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．