Question

16．设A₁，A₂分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得${k_{PA_1}}•{k_{P{A_2}}}$＞-$\frac{1}{2}$，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$）
• C． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 根据题意设P（asinα，bcosα），所以根据条件${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}＞-\frac{1}{2}$可得到$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$，b²换上a²-c²从而可得到$0＜1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$，再根据a，c＞0，即可解出离心率$\frac{c}{a}$的取值范围．

解答 解：设P（asinα，bcosα），A₁（-a，0），A₂（a，0）；
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{bcosα}{asinα+a}$，${k}_{P{A}_{2}}=\frac{bcosα}{asinα-a}$；
∴$\frac{{b}^{2}co{s}^{2}α}{{a}^{2}si{n}^{2}α-{a}^{2}}＞-\frac{1}{2}$；
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{1}{2}$；
∴$0＜\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-（\frac{c}{a}）^{2}＜\frac{1}{2}$，a，c＞0；
∴解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{c}{a}＜1$；
∴该椭圆的离心率的范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$）．
故选：C．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b²=a²-c²，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P点坐标是求解本题的关键．