Question

15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=e^-x，若函数y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在区间[-k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=-2．

Answer 1

分析 根据解析式得出f（x）的周期为2，x∈[0，1]时，f（x）=e^-x；x∈[-1，0]时，f（x）=e^x，再根据函数y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在区间[-k，k]（k＞0）内有奇数个零点，利用函数的对性得出：x=f（0）=1是函数y=x²+（m+1）x+n零点，代入即可求解m+n的值．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）的周期为2，
∵x∈[0，1]时，f（x）=e^-x，
∴x∈[-1，0]时，f（x）=e^x，
∵函数y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在区间[-k，k]（k＞0）内有奇数个零点，
∴根据函数的对称性得出：x=f（0）=1是函数y=x²+（m+1）x+n零点，
即1+m+1+n=0
故m+n=-2，
故答案为：-2

点评 本题综合考查了函数奇偶性，周期性，复合函数的零点，根据对称性求解，关键是理解函数解析式，难度较大，属于中档题．