Question

设函数，曲线在点（1，处的切线为. （Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：.

 

Answer 1

（Ⅰ）a=1，b=2；（Ⅱ）祥见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由曲线在点（1，处的切线为可知 ，求出函数的导函数，可得到关于a，b的一个二元方程组，解之即可得到a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，从而等价于；在分别利用导数求函数的最小值，和函数的最大值；从而就可证明不等式成立，即成立．

试题解析：（Ⅰ）由已知得:函数的定义域为，

；

由题意可得，即

故有a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而等价于；

设函数则；

所以当时，＜0；当时， ＞0．

故在上单调递减，在上单调递增，从而在（0，+）上的最小值为.

设函数，则；

所以当时＞０；当时，＜０．

故在上单调递增，在上单调递减，从而在（0，+）上的最大值为．

综上得：当时，恒有＞，即．

考点：１．导数的几何意义；２．利用导数证明不等式．