Question

已知函数（a为常数）
（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f（x）的值域；
（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

解：（1）若f（x）是R上的奇函数，
则，
而当a=1时，的定义域为R，
且对x∈R，有，
因此，存在a=1，使函数f（x）是R上的奇函数．
由，
得．
∵2^x＞0，
∴
故函数f（x）的值域为．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则
=．
∵y=2^x是R上的增函数，∴，
又，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的减函数．
分析：（1）由奇函数的性质有 f（0）=0，代入可求a，再利用奇函数的定义进行验证；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则，根据已知只要判断出函数值差的符号即可．
点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明（判断）函数单调性中的简单应用，奇函数的性质f（0）=0（0在定义域内），属于基础试题