Question

（本题满分14分）已知函数．

（1）若，解方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围

Answer 1

（1）或；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）当时；再分类讨论解方程可得解集为或；（2），若在上单调递增，利用分段函数及二次函数的性质则有；（3）设即不等式对一切实数恒成立，因，通过计算知当时，；当时，因，故，，可得，综上

试题解析：（1）当时，， 故有

， 2分

当时，由，有，解得或 3分

当时，恒成立 4分

∴ 方程的解集为或 5分

（2）， 7分

若在上单调递增，则有

， 解得， 9分

∴ 当时，在上单调递增 10分

（3）设

则 11分

不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．

，

当时，单调递减，其值域为，

由于，所以成立． 12分

当时，由，知， 在处取最小值，

令，得，又，所以

综上，． 14分

考点：函数性质及其综合应用