Question

【题目】已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣x，g（x）=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0，x＞1）．
（1）证明函数f（x）为偶函数；
（2）若函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域是R，

f（﹣x）=log2（4﹣x+1）+x

=log2 +x

=log2（4x+1）﹣log222x+x

=log2（4x+1）﹣2x+x

=f（x），

故f（x）在R是偶函数

（2）解：由题意：函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，

可得：log2（4x+1）﹣x=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0）

整理得： ．

即：

令2x=t

∵x＞1，

∴t＞2

转化为f（t）= （t＞2）与x轴的交点问题．

当a﹣1=0，即a=1时，f（t）=

∵t＞2，∴f（t）恒小于0，与x轴没有交点．

当a﹣1＞0，即a＞1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＜0．

解得： ，

所以： ．

当a﹣1＜0，即0＜a＜1时，f（t）与x轴有一个交点，需那么f（2）＞0，此时无解．

综上所得：函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围是（1， ）

【解析】（1）求解定义域，利用定义进行判断即可．（2）函数f（x）﹣g（x）只有一个零点，即f（x）=g（x）只有一个零点，化简计算，转化成二次方程问题求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)．