Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）用定义证明函数f（x）在R上的单调性；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数f（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，解得a=1

此时f（x）=2x﹣2﹣x，满足f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．

∴a=1．

（2）

证明：任取x1＜x2，则 ， ，

于是f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）= ﹣（ ）＜0，

即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．

（3）

解：不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0可化为：f（x2﹣x）＞﹣f（2x2﹣k）=f（﹣2x2+k）

又由f（x）在R上是增函数，

得x2﹣x＞﹣2x2+k，

即k＜3x2﹣x对任意的x∈R恒成立

∵当x= 时，3x2﹣取最小值 ，

∴k＜

【解析】（1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，故f（0）=0，解得a值；（2） 任取x1＜x2 ， 作差判断f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性；（3）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（2x2﹣k）＞0恒成立，
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．