Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为．

求椭圆C的方程；

直线l与椭圆C交于，两个不同点，O为坐标原点，若的面积为，证明：为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

由离心率为，，，由，解得：，，即可求得椭圆C的方程；

直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，，，由三角形面积公式即可求得和的值，可得的值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用及韦达定理求得和的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得的面积，求得m和k的关系式，即可证明为定值.

解：椭圆C：的焦点在x轴上，离心率为，，

椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为，即，

由，解得：，，

椭圆的标准方程为：；

证明：当直线轴时，，的面积，

解得：，，

故．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，

联立可得：，

，即，

由韦达定理可知，．

．

点O到直线l的距离为

则的面积．

整理得：，满足，代入

综上为定值.