Question

已知函数f（x）=2sinωx（

3

cosωx-sinωx）+1（ω＞0）的最小正周期为3π
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=2，且3sin²A=cosB-sin（B-C），求sinA的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式：f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），然后，根据周期公式，得到ω=

1

3

，最后结合三角函数的图象与性质求解；
（Ⅱ）根据f（C）=2，得到C=

π

2

，然后，再借助于三角形中有关的边角关系，得到B=

π

2

-A，B-C=-A，代入化简，得到sinA=

2

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinωx（

3

cosωx-sinωx）+1
=2

3

sinωxcosωx-2sin²ωx+1
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∴f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）
∵T=

2π

2ω

=3π，
∴ω=

1

3

，
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

），
∵f（x）＞1，
∴2sin（

2

3

x+

π

6

）＞1，
∴2sin（

2

3

x+

π

6

）＞

1

2

，
∴2kπ+

π

6

＜

2

3

x+

π

6

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴3kπ＜x＜3kπ+π，k∈Z，
∴不等式f（x）＞1的解集{x|3kπ＜x＜3kπ+π，k∈Z }；
（Ⅱ）∵f（C）=2，
∴f（C）=2sin（

2

3

C+

π

6

）=2，
∴sin（

2

3

C+

π

6

）=1，
∵C∈（0，π），
∴（

2

3

C+

π

6

）∈（

π

6

，

5π

6

），
∴

2

3

C+

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

2

，
∴A+B=

π

2

，∴B=

π

2

-A，B-C=-A，
∵3sin²A=cosB-sin（B-C），
∴3sin²A=cos（

π

2

-A）-sin（-A），
∴3sin²A=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinA=

2

3

．
∴sinA的值

2

3

．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、二倍角公式、辅助角公式等知识，属于综合题目，中档题．