Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知b=2，∠B=

π

3

．
（1）若c=2a，求面积S；
（2）求△ABC的周长l及面积S的范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理和a与c的关系，求得a和c，最后利用面积公式求得答案．
（2）利用余弦定理建立关于a和c的关系式，利用基本不等式分别求得ac和a+c的范围，进而求得三角形面积和周长的范围．

解答： 解：（1）由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-4

4a2

=

1

2

，
∴a=

2 3

3

，
∴c=

4 3

3

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

3

×

3

2

=

2 3

3

．
（2）由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-4

2ac

=

1

2

，整理得（a+c）²=2ac+4，
∵（a+c）²≥4ac，ac≤

(a+c)2

4

∴2ac+4≥4ac，即ac≤2；

(a+c)2-4

2

≤

(a+c)2

4

，即（a+c）²≤8，a+c≤2

2

，
∴S=2acsinB=

3

ac≤2

3

，l=a+b+c=a+b+2≤2+2

2

，
∴△ABC的周长的范围（0，2+2

2

]，面积的范围（0，2

3

]．

点评：本题主要考查了余弦定理的运用，基本不等式的基础知识．考查了学生分析和推理的能力．