Question

如图已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°（点A，M，N按逆时针方向排列）．
（1）若

AN

=2

AC

，求BN的长；
（2）若

AM

•

AN

=3，求△ABN面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

AN

=2

AC

，得点N在射线AC上，AN=4，再利用余弦定理即可得出；
（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，由于△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，可得AM=

3

2(sinx+ 3 cosx)

，
已知∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，利用数量积可得：AN=4sinx+2

3

cosx，可得△ABN的面积S=

1

2

(4sinx+2

3

cosx)•sin(x+30°)，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．

解答： 解：（1）由

AN

=2

AC

，得点N在射线AC上，AN=4，
BN²=1+16-2×1×4×cos120°=21，即BN=

21

；
（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，
∵△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，
∴

1

2

•AB•AMsinx+

1

2

•AC•AMsin(120°-x)=

1

2

•AB•AC•sin120°，
得：AM=

3

2(sinx+ 3 cosx)

，
又∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，
∴AM•AN•cos30°=3，即AN=4sinx+2

3

cosx，
∴△ABN的面积S=

1

2

(4sinx+2

3

cosx)•sin(x+30°)=

3

sin2x+

3

2

cos2x+

5

2

sinxcosx，
即S=

5

4

sin2x-

3

4

cos2x+

3 3

4

=

2 7

4

sin(2x-φ)+

3 3

4

．
（其中：sinφ=

3

2 7

，cosφ=

5

2 7

（其中φ为锐角），
∴当2x-φ=90°时，△ABN的面积最大，最大值是

2 7 +3 3

4

．

点评：本题综合考查了余弦定理、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角形的面积公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．