Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+ax，若函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求

1

x1

+

1

x2

的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：先根据函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，判断出0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，然后分别把x₁、x₂代入表达式，消去参数a，整理出

1

x1

+

1

x2

形式就可以求出范围．

解答： 解：∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，不妨设x₁＜x₂，
f（x）=|x²-1|+x²+ax=

1+ax， 0＜x≤1 2x2+ax-1， 1＜x＜2

，
①若1＜x₁＜x₂＜2，即在（0，1）上没有零点，
要使f（x）在（0，1）上没有零点，则须1+a＞0，即a＞-1，
这时，函数f（x）在（1，2）上也没有零点；
所以函数f（x）两个零点不可能都在（1，2）上；
②在（0，1）是一次函数，函数f（x）不可能有两个零点．
所必有0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
所以1+ax₁=0，2x22+ax2-1=0
由以上两式消去a得，2x22-

x2

x1

-1=0
变形得：

1

x1

+

1

x2

=2x2
∵1＜x₂＜2，
∴2＜2x₂＜4，
∴

1

x1

+

1

x2

的取值范围是（2，4）．

点评：本题的难度较大，题目的突破口不好找，解决本题的关键是①判断x₁，x₂的取值范围；②对表达式进行适当的变形．