Question

已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）当n=2，x∈（0，1]时，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范围；
（2）试判断函数f（x）在（

1

2

，1）内零点的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得k≥x-

1

x

+1，令g(x)=x-

1

x

+1，利用导数求得函数的最大值即得结论；
（2）由题意得f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函数，且f（1）=n-1＞0，f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0，故得结论成立．

解答： 解：（1）由f（x）≤kx?x²+x-1≤kx，则k≥x-

1

x

+1，…（2分）
又g(x)=x-

1

x

+1在（0，1]上是增函数，g（x）_max=g（1）=1…（4分）
所以k≥1．…（6分）
（2）f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函数，且f（1）=n-1＞0，…（8分）
f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0…（12分）
所以f（x）在(

1

2

，1)内存在唯一的零点．…（14分）

点评：本题主要考查恒成立问题及函数零点的判断问题，利用导数判断函数的单调性、求最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，属难题．