Question

已知函数f（x）=sin[ωπ（x+

1

3

）]的部分图象如图所示，其中P为函数图象的最高点，A，B是函数图象与x轴的相邻两个交点，若y轴不是函数f（x）图象的对称轴，且tan∠APB=

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）过点P作PC⊥x轴于C，则BC=3AC，tan∠BPC=3tan∠APC，易求tan∠APC=1或tan∠APC=

1

3

，分类讨论后即可求得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）得f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

），由x∈[1，2]⇒

2π

3

≤

1

2

πx+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）的取值范围．

解答： 解：（1）过点P作PC⊥x轴于C，则BC=3AC，tan∠BPC=3tan∠APC，
所以tan∠APB=tan（∠BPC-∠APC）=

2tan∠APC

1+3tan2∠APC

=

1

2

，
解得tan∠APC=1或tan∠APC=

1

3

…2分
若tan∠APC=

1

3

，则AC=

1

3

PC=

1

3

，此时函数f（x）的最小正周期T=4AC=

4

3

，从而ω=

3

2

．
此时f（x）=sin[

3

2

π（x+

1

3

）]=cos

3π

2

x，可知y轴是其图象的对称轴，不合题意，舍去．
若tan∠APC=1，则AC=PC=1，此时函数f（x）的最小正周期T=4AC=4，从而ω=

1

2

．
此时f（x）=sin[

1

2

π（x+

1

3

）]=sin（

1

2

πx+

π

6

），符合题意．
故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

）；…6分
（2）由（1）得f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

），又x∈[1，2]，则

2π

3

≤

1

2

πx+

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin（

1

2

πx+

π

6

）≤

3

2

，…10分
即数f（x）的取值范围为[-

1

2

，

3

2

]…12分．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查两角差的正切，突出考查正弦函数的单调性与最值，考查综合运算能力，属于难题．