Question

已知等比数列{a_n}的首项为

4

3

，公比为-

1

3

，其前n项和记为S，又设B_n={

1

2

，

3

4

，

5

8

，…，

2n-1

2n

}（n∈N^*，n≥2），B_n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：求出等比数列{a_n}的前n项和S，B_n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的首项为

4

3

，公比为-

1

3

，其前n项和记为S，
∴S=1-(-

1

3

)n，
当n=2时，B_n的所有非空子集为：{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

}，{

3

4

}，∴S=

1

2

×2+

3

4

=

7

4

；
当n=3时，∴S=

1

2

×4+

3

4

×1+

5

8

×2=4；
当n≥4时，当最小值为

2n-1

2n

时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2^n-1-1个非空子集，
S₁=

2n-1

2

；当最小值为

2n-3

2n-1

，不含

2n-1

2n

，含

2n-3

2n-1

，共n-2个元素，有2^n-2-1个非空子集，S2=

2n-3

2

，…
∴T=S₁+S₂+S₃+…+S_n=

2n-1

2

+

2n-3

2

+…+

7

2

+2+

5

4

+

3

4

=

n2-1

2

∵S+2T≥2014，
∴1-(-

1

3

)n+n²-1≥2014
∴n≥45．
故答案为：45．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．