设函数的定义域是
,其中常数
.
(1)若,求
的过原点的切线方程.
(2)当时,求最大实数
,使不等式
对
恒成立.
(3)证明当时,对任何
,有
.
(1)切线方程为和
.(2)
的最大值是
.(3)详见解析.
解析试题分析:(1)一般地,曲线在点
处的切线方程为:
.注意,此题是求过原点的切线,而不是求
在原点处切线方程,而该曲线又过原点,故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令
,则问题转化为
对
恒成立.注意到
,所以如果
在
单调增,则必有
对
恒成立.下面就通过导数研究
的单调性.(3)不等式
可变形为:
.为了证这个不等式,首先证
;而证这个不等式可利用导数证明
.故令
,然后利用导数求
在区间
上范围即可.
试题解析:(1).若切点为原点,由
知切线方程为
;
若切点不是原点,设切点为,由于
,故由切线过原点知
,在
内有唯一的根
.
又,故切线方程为
.
综上所述,所求切线有两条,方程分别为和
.
(2)令,则
,
,显然有
,且
的导函数为:
.
若,则
,由
知
对
恒成立,从而对
恒有
,即
在
单调增,从而
对
恒成立,从而
在
单调增,
对
恒成立.
若,则
,由
知存在
,使得
对
恒成立,即
对
恒成立,再由
知存在
,使得
对
恒成立,再由
便知
不能对
恒成立.
综上所述,所求的最大值是
.
(3)当时,令
,则
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=lnx-mx(mR).
(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)若方程内有两个不等的实根,求实数m的取值范围;(e为自然对数的底数)
(2)如果函数的图象与x轴交于两点
、
且
.求证:
(其中正常数
).
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