Question

5．已知函数f（x）=$\frac{b}{x-a}$的图象过点A（0，-$\frac{3}{2}$），B（3，3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅲ）若m，n∈（2，+∞）且函数f（x）在[m，n]上的值域为[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将A，B两点的坐标代入函数f（x）便可得到关于a，b的方程组，可解出a，b，从而得到$f（x）=\frac{3}{x-2}$；
（Ⅱ）容易判断f（x）在（2，+∞）上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞2，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＜f（x₂），这样便得出f（x）在（2，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）根据条件可得到f（x）在[m，n]上单调递减，从而有f（m）=3，f（n）=1，这样便可求出m，n，从而得出m+n的值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{-a}=-\frac{3}{2}}\\{\frac{b}{3-a}=3}\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴$f（x）=\frac{3}{x-2}$；
（Ⅱ）函数f（x）在（2，+∞）上单调递减；
证明：设x₁＞x₂＞2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{1}-2}-\frac{3}{{x}_{2}-2}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$；
∵x₁＞x₂＞2；
∴x₂-x₁＜0，x₁-2＞0，x₂-2＞0；
∴$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在（2，+∞）上是单调递减函数；
（Ⅲ）∵m，n∈（2，+∞）；
∴函数f（x）在[m，n]上单调递减；
∴f（m）=3，f（n）=1；
即$\frac{3}{m-2}=3，\frac{3}{n-2}=1$；
∴m=3，n=5；
∴m+n=8．

点评 考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，减函数的定义，根据减函数的定义判断并证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，根据函数单调性求函数值域的方法．