Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ，点P为线段A1C上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的 ． ①当 时，D1P∥平面BDC1；
②当 时，A1C⊥平面D1AP；
③当∠APD1的最大值为90°；
④AP+PD1的最小值为 ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设AA1=1，则AD=1，AB= ，设 ；（λ≥1） 则A（1，0，0），C（0， ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0， ，1），B（1， ，0）
， ，
对于①，设平面DBC1的法向量为
由 可得

若D1P∥平面BDC1 ， 则 ，解得λ=3，故①正确．
对于②，若A1C⊥平面D1AP，则 ，解得λ=5，故②正确；
对于③， ＜0 （λ≥1）有解，故∠APD1可以大于900 ． 所以③错；
对于④，∵ =0时，λ=2，此时AP+PD1= ，
当λ＞2时，∠APD1为钝角此时AP+PD1小于 ，故④错
综上，所以答案是：①②．

【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．