Question

【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=3,AB=,BE=EC,AD=2DC.

(1)证明:DE⊥平面PAE;

(2)求二面角A-PE-B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明AB, AC, AP两两垂直，然后以点A为原点建立空间直角坐标系，证明=0，，从而得到DE⊥AE,DE⊥AP,故得结论成立．（2）由题意求得平面PEB的法向量，又由（1）得=(1,-1,0)是平面APE的一个法向量，求出后再结合图形得到所求的余弦值．

(1)证明：

∵PA⊥平面ABC, AB, AC在平面ABC内，

∴PA⊥AB,PA⊥AC.

又AB⊥AC,

∴AB, AC, AP两两垂直，

以点A为坐标原点,AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意得A(0,0,0),B,C(0,3,0),P(0,0,3),

∵BE=EC,

∴E(1,1,0).

∵AD=2DC,

∴D(0,2,0).

∴=(1,-1,0),=(1,1,0).

∵=0,

∴,

∴DE⊥AE,

同理可得DE⊥AP,

又AP∩AE=A,

∴DE⊥平面PAE.

(2)解设是平面PEB的一个法向量,

则

令z=1,则，

由(1)得=(1,-1,0)是平面APE的一个法向量,

∴cos<,>=,

由图形得二面角A-PE-B为锐角，

∴二面角A-PE-B的余弦值为.