Question

13．如图，已知圆O的两弦AB和CD相交于点E，FG是圆O的切线，G为切点，EF=FG．
求证：（Ⅰ）∠DEF=∠EAD；
（Ⅱ）EF∥CB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理，结合EF=FG，证明△FED∽△EAF，可得∠DEF=∠EAD；
（Ⅱ）证明∠FED=∠BCD，即可证明EF∥CB

解答 证明：（Ⅰ）由切割线定理得FG²=FA•FD．
又EF=FG，所以EF²=FA•FD，即$\frac{EF}{FA}=\frac{FD}{EF}$．
因为∠EFA=∠DFE，所以△FED∽△EAF，
所以∠DEF=∠EAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠DEF=∠EAD，
因为∠FAE=∠DAB=∠DCB，
所以∠FED=∠BCD，所以EF∥CB．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．