Question

9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC，AC丄AB，PA=AB=2，AC=1．
（Ⅰ） 证明：PC丄AB；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的正弦值；
（Ⅲ） 求三棱锥P-ABC外接球的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥平面PC，即可证明：PC丄AB；
（Ⅱ）过A作AM⊥PC交PC于点M，连接BM，则∠AMB为所求角，即可求二面角A-PC-B的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥P-ABC外接球即为以AP，AB，AC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径，可求三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 （Ⅰ）证明：$\left.\begin{array}{l}AB⊥AC\\ AB⊥PA\end{array}\right\}⇒AB⊥平面PAC⇒AB⊥PC$；…（4分）
（Ⅱ）解：过A作AM⊥PC交PC于点M，连接BM，则∠AMB为所求角；…（6分）
在三角形AMB中，$sin∠AMB=\frac{AB}{BM}=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$…（8分）
（Ⅲ）解：求三棱锥P-ABC外接球即为以AP，AB，AC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径，…（10分）
${l^2}={2^2}+{2^2}+{1^2}=9={（2R）^2}⇒R=\frac{3}{2}$$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π×{（\frac{3}{2}）^3}=\frac{9}{2}π$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角，考查三棱锥P-ABC外接球体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．