Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA₁=4，点F在CC₁上，且C₁F=3FC，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥平面BCC₁B₁
（2）求四棱锥A-B₁C₁FE的体积；
（3）证明：B₁E⊥AF．

Answer 1

分析 （1）易证AE⊥BC，BB₁⊥AE，又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，即可证明AE⊥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）知AE为四棱锥A-B₁C₁FE的高，由题意根据${S}_{四边形{B}_{1}{C}_{1}FE}$=${S}_{正方形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△CFE即可得解．
（3）证明：连结B₁F，由（1）可证AE⊥B₁E，易求B₁F，B₁E，EF的值，由勾股定理可证B₁E⊥EF，从而可证明B₁E⊥平面AEF，根据AF?平面AEF，即可判定B₁E⊥AF．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC．…．（1分）
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁，中，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
∵AE?平面ABC，
∴BB₁⊥AE，…．（2分）
又∵BB₁∩BC=B，…．（3分）
BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，…．（4分）
（2）由（1）知，即AE为四棱锥A-B₁C₁FE的高，
在正三角形ABC中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，…（5分）
在正方形BB₁C₁C，中，CE=BE=2，CF=1，
∴${S}_{四边形{B}_{1}{C}_{1}FE}$=${S}_{正方形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△CFE=4×$4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×1$=11．…（6分）
∴${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}FE}$=$\frac{1}{3}$${S}_{四边形{B}_{1}{C}_{1}FE}$•AE
=$\frac{1}{3}×11×2\sqrt{3}$
=$\frac{22\sqrt{3}}{3}$…（7分）
（3）证明：连结B₁F，由（1）得AE⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁E?平面BB₁C₁C，∴AE⊥B₁E，…．（8分）
在正方形BB₁C₁C，中，B₁F=$\sqrt{{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}$=5，B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵B₁F²=B₁E²+EF²，
∴B₁E⊥EF…．（9分）
又∵AE∩EF=E，…．（10分）
AE，EF?平面AEF，
∴B₁E⊥平面AEF，…．（11分）
∵AF?平面AEF，
∴B₁E⊥AF．…．（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，四棱锥体积的求法，直线与平面、平面与平面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．