Question

5．已知数列{a_n}是各项均为正数有穷数列，数列{b_n}满足kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n）
（1）若数列{b_n}的通项公式b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）①若数列{a_n}为递增数列，试判断数列{b_n}是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由；
②若数列{b_n}为递增数列，试判断数列{a_n}是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由；
（3）设数列{C_n}、{D_n}满足：C_n=（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，D_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²，求证：C_n≤D_n．

Answer 1

分析 （1）运用递推关系式kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n），得出（n-1）（n-1）=a₁+a₂+…+a_n-1，n×n=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n），求解即可得出a_n=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2），验证n=1是否满足即可．
（2）（i）作差得出b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{n+1}-（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}{n（n+1）}$＞0，运用数列{a_n}为递增数列，放缩a₁+a₂+…+a_n＜na_n，na_n+1-（a₁+a₂+…+a_n）＞n（a_n+1-a_n）＞0可得证．（ii）运用特殊数列论证即可．
（3）作差D_n-C_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²-（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，由kb_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k，可知a_k+1=（k+1）b_k+1-kb_k，a₁=b₁，…
利用上式，将D_n-C_n展开，将a_i用{b_n}的项替换，化简即可得证．

解答 解：（1）∵b_n=n，kb_k=a₁+a₂+…+a_k（k=1，2，…，n），
∴1×1=a₁，
即a₁=1，
当k=n-1时，（n-1）（n-1）=a₁+a₂+…+a_n-1（n≥2），①
当k=n时，n×n=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n②
②-①得出a_n=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2），
当n=1时，也符合式子，
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=2n-1，
（2）（i）∵数列{a_n}为递增数列
∴a₁+a₂+…+a_n＜na_n，
∴na_n+1-（a₁+a₂+…+a_n）＞n（a_n+1-a_n）＞0
∵nb_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），
∴b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+++{a}_{n}}{n}$，①
可得b_n+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$，②

②-①得出：b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}+{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$
=$\frac{n{a}_{n+1}-（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}{n（n+1）}$＞0，
即b_n+1＞b_n，
∴数列{a_n}为递增数列，可以判断数列{b_n}是递增数列．
（ii）当数列{b_n}为1，5，6时，{a_n}为1，9，8，
所以若数列{b_n}为递增数列，试判断数列{a_n}不为递增数列．
（3）证明：D_n-C_n=（a₁-b_n）²+（a₂-b_n）²+…+（a_n-b_n）²-（a₁-b₁）²+（a₂-b₂）²+…+（a_n-b_n）²，
由kb_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k，可知a_k+1=（k+1）b_k+1-kb_k，a₁=b₁，…
利用上式，将D_n-C_n展开，将a_i用{b_n}的项替换，得出：
D_n-C_n=（b₁-b₂）²+2（b₂-b₃）²+…+（n-1）（b_n-1-b_n）²≥0，
∴D_n≥C_n

点评 本题综合考察了数列的知识，性质，结合不等式，放缩法求解，难度较大，考察了学生的化简运算能力，分析解决问题的能力．