Question

16．设函数f（x）=x²-1，对任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$，$f（\frac{x}{m}）-4{m^2}f（x）≤f（x-1）+4f（m）$恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先把原不等式整理后转化为（$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1）x²+2x+3≤0，即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$恒成立．再利用配方，运用单调性，即可得到右边函数的最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：不等式$f（\frac{x}{m}）-4{m^2}f（x）≤f（x-1）+4f（m）$，
整理得（$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1）x²+2x+3≤0，
即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$恒成立．
令g（x）=$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$=-3（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$，
由$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$，可得$\frac{1}{x}$∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$]，
由二次函数的性质可得x=-$\frac{4}{3}$取得最小值，
且为g（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{8}{3}$，
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²-1≤-$\frac{8}{3}$，
解得m²≥$\frac{3}{4}$，
即有m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题．注意运用参数分离和运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．