Question

7．设x，y∈R，2x²+3y²=6，求x²+y²+8x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由题意三角换元可得x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，由三角函数和二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵2x²+3y²=6，∴$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，
∴x²+y²+8x=3cos²θ+2sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=3（1-sin²θ）+2sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=-sin²θ+8$\sqrt{2}$sinθ+3
=-（sinθ-4$\sqrt{2}$）²+35，
由二次函数可知当sinθ∈[-1，1]时，上式单调递增，
∴当sinθ=1时，上式取最大值8$\sqrt{2}$+2；
当sinθ=-1时，上式取最小值-8$\sqrt{2}$+2

点评 本题考查函数的最值，三角换元并利用三角函数和二次函数的性质是解决问题关键，属基础题．