Question

18．已知$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，则（1-2x）x²（1+2x）的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 换元t=4x²∈[0，1），恒等变形得出1-2x）x²（1+2x）=$\frac{1}{4}$×（1-t）t利用基本不等式求解即可．

解答 解：∵$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，
∴t=4x²∈[0，1），
∴（1-2x）x²（1+2x）=$\frac{1}{4}$×（1-t）t$≤\frac{1}{4}$×$\frac{（1-t+t）^{2}}{4}$=$\frac{1}{16}$（t=$\frac{1}{2}$时等号成立），
∵t=$\frac{1}{2}$时，x=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴当x=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$时，（1-2x）x²（1+2x）的最大值为$\frac{1}{16}$，
故选：C．

点评 本题考察了换元法转为基本不等式求解最大值问题，关键是构造条件，等号是否成立，