Question

8．已知函数f（x）=cos$（2ωx+\frac{π}{3}）$+$\frac{1}{2}$ （ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
（2）若A为钝角三角形ABC的最小内角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可求ω，从而可得函数解析式f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，由-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，即可解得单调递增区间．令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即可解得对称中心．
（2）由0＜A＜$\frac{π}{3}$，可得范围$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜π，由余弦函数的图象和性质即可求得f（A）的取值范围．

解答 解：（1）∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
由-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，∴x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴对称中心为（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z．
（2）依题意，得0＜A＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜π，∴-1＜cos（2A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cos（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$＜1，
∴f（A）的取值范围为$（-\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．