Question

3．若关于x的不等式ax²+ax+1＞0（a≠0）恒成立，则$\frac{9}{a}$+a的最小值为6．

Answer 1

分析 当a≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，求得实数a的取值范围．再由基本不等式可得最小值．

解答 解：当a≠0时，要使不等式ax²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$
解得0＜a＜4．
则$\frac{9}{a}$+a≥2$\sqrt{\frac{9}{a}•a}$=6，当且仅当a=3∈（0，4），取得等号．
则所求最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，运用基本不等式求最值问题，属于中档题．