Question

20．已知无穷等比数列{$\frac{1}{{2}^{n-1}}$cos^n-1θ}的各项和等于$\frac{4}{3}$，其中-$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{π}{2}$，求θ的值．

Answer 1

分析 由已恬条件推导出S=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{cosθ}{2}}$=$\frac{4}{3}$，由此能求出θ的值．

解答 解：∵无穷等比数列{$\frac{1}{{2}^{n-1}}$cos^n-1θ}，
∴首项a₁=1，公比q=$\frac{cosθ}{2}$，
∵|q|=|$\frac{cosθ}{2}$|＜1，无穷等比数列{$\frac{1}{{2}^{n-1}}$cos^n-1θ}的各项和等于$\frac{4}{3}$，
∴S=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{cosθ}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{π}{2}$，∴θ=$±\frac{π}{3}$．

点评 本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质、三角函数知识的合理运用．