Question

5．如图，直线m：3x+4y-4=0与以O₁、O₂、…O_n、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆O₁与y轴相切，半圆圆心都在x轴的正半轴上，半径分别为r₁、r₂、…、r_n、…，求所有半圆弧长的总和L．

Answer 1

分析 由已知条件推导出{r_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，由此能求出所有半圆弧长的总和．

解答 解：∵直线m：3x+4y-4=0，∴令x=0，得y=1，令y=0，得x=$\frac{4}{3}$，
即OA=1，OB=$\frac{4}{3}$，∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∵∠OAB是公共角，∴∠AOB=∠O₁A₁B，
∴△AOB∽△O₁A₁B，
∴$\frac{{O}_{1}{A}_{1}}{OA}=\frac{{O}_{1}B}{AB}=\frac{OB-O{O}_{1}}{AB}$，即$\frac{{r}_{1}}{1}=\frac{\frac{4}{3}-{r}_{1}}{\frac{5}{3}}$，解得${r}_{1}=\frac{1}{2}$．
同理，$\frac{{O}_{2}{A}_{2}}{OA}=\frac{OB-O{O}_{2}}{AB}$，即$\frac{{r}_{2}}{1}=\frac{\frac{4}{3}（2{r}_{1}+{r}_{2}）}{\frac{5}{3}}$，解得${r}_{2}=\frac{1}{8}$，
${r}_{3}=\frac{2-3（{r}_{1}+{r}_{2}）}{4}=\frac{1}{32}$，${r}_{4}=\frac{2-3（{r}_{1}+{r}_{2}+{r}_{3}）}{4}=\frac{1}{128}$，…
∴{r_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，
∴所有半圆弧长的总和：
L=（r₁+r₂+…+r_n）π
=[$\frac{1}{2}×\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n}}{1-\frac{1}{4}}$]π
=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）π$．

点评 本题考查所有半圆弧长的总和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．