Question

设f（x）=ax²+x-3（a≠0）．
（1）当a=2时，解不等式xf（x）＞0；
（2）当a＞0，x∈[-1，2]时，f（x）的值至少有一个是正数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=2时，化简不等式xf（x）＞0；利用穿根法求解即可．
（2）当a＞0，x∈[-1，2]时，f（x）的值至少有一个是正数，转化为不等式组，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，不等式xf（x）＞0，即x（2x²+x-3）＞0，
即x（2x+3）（x-1）＞0，
∴原不等式的解集为：(-

3

2

，0)∪(1，+∞)
（2）当a＞0，x∈[-1，2]时，f（x）的值至少有一个是正数的充要条件是f（-1）＞0或f（2）＞0，解得a＞4或a＞

1

4

，即a的取值范围是 (

1

4

，+∞)．

点评：本题考查其它不等式的求法，穿根法的应用，考查转化思想充要条件的应用，考查计算能力．