Question

已知函数 f（x）=log_a（1-ax²）（a＞0且a≠1）
（1）若0＜a＜1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）a∈（0，1）时，令t=1-ax² ，显然函数g（t）=log_a t 是减函数．令t＞0，求得-

1

a

＜x＜

1

a

．再根据函数t的单调性得到 f（x）=log_a（1-ax²）的单调性．
（2）不等式即log_a（1-ax²）＞1=log_aa，分当a＞1时和当0＜a＜1时 两种情况，根据函数的单调性求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵0＜a＜1，令t=1-ax² ，显然函数g（t）=log_a t 是减函数．
令t＞0，求得-

1

a

＜x＜

1

a

．
在（-

1

a

，0）上，函数t是增函数，函数 f（x）=log_a（1-ax²）是减函数．
在（0，

1

a

）上，函数t是减函数，函数 f（x）=log_a（1-ax²）是增函数．
故f（x）=log_a（1-ax²）的增区间为 （0，

1

a

），减区间为（-

1

a

，0）．
（2）不等式f（x）＞1，即 log_a（1-ax²）＞1=log_aa，
∴当a＞1时，可得1-ax² ＞a，即ax² +a-1＜0，即 ax²＜1-a＜0，x无解．
当0＜a＜1时，可得 0＜1-ax² ＜a，解得

1-a

a

＜x²＜

1

a

，
故不等式的解集为{x|

1-a a

＜x＜

1

a

，或-

1

a

＜x＜

1-a a

}．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．