Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的最小值；
（Ⅱ）如何上下平移f（x）的图象，使得f（x）平移后的图象与g（x）的图象有公共点且在公共点处切线相同．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）表示出h（x），利用导数求出极值，可判断即为最小值；
（Ⅱ）设上下平移f（x）的图象为c个单位的函数解析式为y=x²+c．设y=x²+c与y=2lnx的公共点为（x₀，y₀）．依题意有：

x02+c=2lnx0 2x0= 2 x0

，解出可得．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=x²-2lnx，则h'（x）=2x-

2

x

，
令h'（x）=0，解得x=1，
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增；
∴当x=1时，h（x）达到最小，h（x）的最小值为h（1）=1．
（Ⅱ）设上下平移f（x）的图象为c个单位的函数解析式为y=x²+c．
设y=x²+c与y=2lnx的公共点为（x₀，y₀）．
依题意有：

x02+c=2lnx0 2x0= 2 x0

，
解得x₀=1，c=-1，
故将f（x）的图象向下平移1个单位后，两函数图象在公共点（1，0）处有相同的切线．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义、图象的平移变换，属中档题，正确理解导数与函数最值的关系是解题基础．