Question

已知各项均不为零的数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n=2-a_n；等差数列{b_n}中b₁=4，且b₂-1是b₁-1与b₄-1的等比中项
（Ⅰ）求a_n和b_n，
（Ⅱ）记cn=

bn

an

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过S_n求出S_n-1，然后两式相减得到a_n的递推形式，an=

S1，n=1 Sn-Sn-1

，不要忘了验证a₁是否满足a_n，从而求出{a_n}的通项公式；由等差数列{b_n}中b₁=4，且b₂-1是b₁-1与b₄-1的等比中项，建立方程求出d，由此能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）分类讨论思想，因为（Ⅰ）问中求出的{b_n}的通项公式有两个，所以{c_n}也是两个：cn=2n-1或cn=(3n+1)•2n+1，由此分别计算，能求出{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）对于数列{a_n}，由题意知S_n=2-a_n，①
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得S_n-S_n-1=-a_n+a_n+1（n≥2），
即a_n=-a_n+a_n-1，
∴2a_n=a_n-1（n≥2），
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2）
∵a₁=2-a₁，∴a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴an=(

1

2

)n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=4，且b₂-1是b₁-1与b₄-1的等比中项，
b₁=4，b₂=4+d，b₃=4+3d，
∴（3+d）²=3（3+d），
解得d=0，或d=3．
当d=0时，b_n=4；当d=3时，b_n=3n+1．
（Ⅱ）当b_n=4时，cn=

bn

an

=（3n1）•2^n-1，
∴Tn=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．
当b_n=3n+1时，Cn=

bn

an

=（3n+1）•2ⁿ，
Tn=4•20+7•2+10•22+…+(3n+1)•2^n-1，③
2T_n=4•2+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，④
③-④得-T_n=4+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n+1）•2ⁿ
=4+3•

2(1-2n-1)

1-2

-（3n+1）•2ⁿ
=4+2•2ⁿ-6-（3n+1）•2ⁿ
=（2-3n）•2ⁿ-2，
∴T_n=2+（3n-2）•2ⁿ．
综上：b_n=4时，Tn =2n+2-4；
b_n=3n+1时，Tn=2+(3n-2)•2n．

点评：本题考查数列的通项公式和前n基和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．