Question

已知实数，函数.
（1）当时，求的最小值;
（2）当时,判断的单调性,并说明理由；
（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

Answer 1

（1）2；（2）递增；（3）．

解析试题分析：(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．
试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.
（1）时,         2分
时最小值为2.              4分
（2）时,
时，递增；时，递减；          6分
为偶函数.所以只对时，说明递增.
设，所以，得

所以时，递增；                  10分
（3），，
从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，
恒有.                           11分
①当时，在上单调递增，
由得，
从而；                          12分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
由得，从而；        13分
③当时，在